Том 22 (2019)
- Номер 1 (февраль 2019)
- Номер 2 (апрель 2019)
- Номер 3 (июнь 2019)
- Номер 4 (август 2019)
- Номер 5 (октябрь 2019)
- Номер 6 (декабрь 2019)
Энергетическая основа резонанса в упругих телах
Ю.А. Алюшин1Национальный исследовательский технологический университет МИСиС, Москва, 119991, Россия,
УДК 531.01
DOI 10.24411/1683-805X-2019-15006
Новая концепция в механике с одним модулем упругости использована для обоснования существенного возрастания амплитуды при взаимодействии вынужденных и свободных поперечных, крутильных и продольных колебаний в упругом теле с одинаковой или близкой частотой. Принцип суперпозиции и расчет упругой энергии через инварианты уравнений движения обеспечивают выполнение закона сохранения для системы в целом. На основе анализа энергетических соотношений предложен механизм преобразования вынужденных колебаний с частотой, определяемой внешними воздействиями, в собственные после прекращения действия вынуждающей силы. Приведен анализ кинематических аналогов энергии, определяемых через средние значения относительных длин ребер частиц и среднеквадратические отклонения их от среднего для каждой частицы. Выделены составляющие деформаций, которые не влияют на интегральные по объему упругого тела значения энергии, не преобразуются в кинетическую энергию и не участвуют в выполнении закона сохранения энергии для системы в целом. Энергия для такой деформации поступает из внутренних источников, которые при свободных колебаниях и резонансе играют существенную роль. При резонансе интегральные по объему тела упругая и кинетическая энергии изменяются с одинаковой частотой без изменения их суммы, что обеспечивает возможность неограниченного продолжения колебаний без притока дополнительной энергии из внешних источников. Собственные колебания взаимодействуют с подобными при близкой или равной частоте, при этом амплитуды и скорости суммируются, а энергетические характеристики возрастают пропорционально квадрату суммы амплитуд. Многократные взаимодействия свободных колебаний с вынужденными при близких частотах приводят к многократному увеличению энергетических характеристик результирующего резонансного колебания.
Ключевые слова: резонанс, энергетическая модель, уравнения движения, переменные Лагранжа, инварианты, принцип суперпозиции, обобщенная скалярная функция, свободные колебания
Energy basis of resonance in elastic bodies
A new concept in mechanics with one modulus of elasticity is used to justify a significant amplitude increase during the interaction of forced and free transverse, torsional, and longitudinal vibrations in an elastic body with the same or close frequency. The principle of superposition and the calculation of elastic energy using invariants of the equations of motion allow the conservation law to be satisfied for the system as a whole. Based on the analysis of energy relations, a mechanism is proposed for converting forced oscillations with a frequency determined by external influences into free oscillations when the driving force is removed. Kinematic analogs of energy determined by the average values of the relative edge lengths of particles and their mean-square deviations from the average for each particle are analyzed. The strain components are determined which do not affect the energy values integrated over the volume of the elastic body, are not converted into kinetic energy, and do not contribute to the fulfillment of the energy conservation law for the whole system. The energy for the deformation is supplied from internal sources, which play an important role in free oscillations and resonance. At resonance, the elastic and kinetic energies integrated over the body volume change with the same frequency without changing their sum, due to which oscillations persist indefinitely without the influx of additional energy from external sources. Free oscillations interact with similar ones at a close or equal frequency, while the amplitudes and velocities are summed up, and the energy characteristics increase in proportion to the square of the sum of the amplitudes. As a result of multiple interactions of free oscillations with forced ones at close frequencies, the energy characteristics of the resultant resonant oscillation increase many times.
Keywords: resonance, energy model, equations of motion, Lagrangian variables, invariants, superposition principle, generalized scalar function, free oscillations
стр. 42 – 53
Образец цитирования: