УДК 531.01

DOI 10.24411/1683-805X-2019-13009

 

 

Рассмотрена энергетически изолированная система в виде упругого стержня, закрепленного между двумя абсолютно твердыми опорами. На основе энергетической модели механики получены распределение по объему и изменение во времени составляющих упругой и кинетической энергии для основных форм продольных, поперечных и крутильных колебаний, а также уравнения движения и компоненты тензора для расчета этих характеристик при их суперпозиции. На основе анализа структуры кинематических инвариантов, ассоциируемых с энергией, получены уравнения для расчета восьми видов локальной энергии, в том числе два вида, которые не влияют на интегральную по объему тела энергию деформации. Показано, что энергетическое состояние и взаимодействие частиц определяются волновыми уравнениями. По аналогии со свободными колебаниями в упругих телах, когда изменение геометрической структуры происходит без притока энергии через внешние границы системы, возможны геометрические изменения формы в микрообъемах, проявляемые в уравнениях движения и происходящие за счет внутренних источников без обмена энергией с соседними частицами. Высказано предположение, что влияющие на интегральные по объему части энергии обеспечивают выполнение закона сохранения для системы в целом, а два других - выполнение локального закона сохранения в объеме частицы с учетом дифференциальных уравнений движения. Частицы в центральных по длине сечениях, через которые происходят внешние воздействия для возбуждения колебаний, не меняют форму и объем, энергия на деформацию частиц не расходуется. Полученные результаты, в том числе по периоду и частотам колебаний, а также выполнению закона сохранения для интегральных по объему значений кинетической и упругой энергии, в дополнение к известным решениям для абсолютно твердых и деформируемых тел, можно рассматривать как дополнительные аргументы правомерности применения энергетической модели для решения различных задач механики.

Ключевые слова: уравнения движения, переменные Лагранжа, инварианты, обобщенная скалярная функция, энергетическая модель, свободные колебания, суперпозиция, напряжения, деформации, упругие тела

 

Energy features of free oscillations in elastic bodies

An energetically isolated system was considered in the form of an elastic rod fixed between two absolutely solid supports. A mechanics-based energy model was used to obtain the volume distribution and time variation of the elastic and kinetic energy components for the main forms of longitudinal, transverse, and torsional vibrations. These characteristics were calculated by superposition using derived equations of motion and tensor components. Analysis of the structure of kinematic invariants associated with energy yielded equations for calculating eight types of local energy, including two types that do not affect the volume-integral strain energy of the body. It was shown that the energy state and the interaction of particles are determined by wave equations. By analogy with free oscillations in elastic bodies, when the geometric structure changes without energy inflow through the outer boundaries of the system, geometric changes may occur in microvolumes, which are manifested in the equations of motion and occur due to internal sources without energy exchange with neighboring particles. It was suggested that the energy parts affecting the volume integral parts ensure the fulfillment of the conservation law for the system as a whole, while the other two allow the fulfillment of a local conservation law in the particle volume taking into account the differential equations of motion. The shape and volume of particles in the longitudinal sections, through which external loads are applied to excite oscillations, do not change; no energy is spent for particle deformation. The period and frequency of oscillations were determined, and the conservation law was found to be fulfilled for the volume-integral values of kinetic and elastic energy. In addition to the well-known solutions for absolutely rigid and deformable bodies, the obtained results confirm the validity of using the energy model to solve various mechanics problems.

Keywords: equations of motion, Lagrange variables, invariants, generalized scalar function, energy model, free oscillations, superposition, stresses, strains, elastic bodies

 

 

Ю.А. Алюшин  Энергетические особенности свободных колебаний в упругих телах // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. - № 3. - С. 77-87