УДК 539.3 : 539.4

DOI 10.24411/1683-805X-2019-12006

 

 

В работе получена замкнутая система дифференциально-разностных уравнений, описывающая тепловые процессы в одномерном гармоническом кристалле на упругом основании. Показано, что процесс эволюции теплового возмущения в таком кристалле описывается нестационарным дискретным уравнением, частным случаем которого является гиперболическое уравнение баллистической теплопроводности. Данное уравнение остается справедливым и для случая отрицательных значений жесткости связей между частицами кристалла во всем диапазоне его устойчивости. Фронт теплового возмущения распространяется с максимальной групповой скоростью механических волн. В работе показано, что распространение короткого теплового возмущения в кристалле на упругом основании определяется уравнением баллистической теплопроводности того же вида, что и в кристалле без упругого основания. Единственным параметром данного уравнения является величина максимальной по модулю групповой скорости, т.е. максимальная скорость, с которой в кристалле на упругом основании может распространяться энергия. Данная величина пропорциональна модулю полуразности верхней и нижней частот отсечек. Скорость распространения тепловой волны в кристалле на упругом основании с положительной жесткостью всегда меньше, чем скорость тепловой волны в кристалле без упругого основания. Установлено, что полученное уравнение справедливо как для положительных значений жесткости, так и для отрицательных значений, для которых выполняется условие устойчивости цепочки. Для иллюстрации получено точное решение динамической задачи распространения тепла для параболического начального профиля температуры, моделирующее нагрев одномерного кристалла на подложке коротким лазерным импульсом. За счет наличия дисперсии механических волн в цепочке на подложке их групповая скорость зависит от волнового числа и соотношения жесткостей связей в цепочке и упругого основания. Тепловой фронт распространяется с максимально возможной в системе групповой скоростью, которая зависит только от данного соотношения.

Ключевые слова: одномерный кристалл, теплопроводность, упругое основание, отрицательный коэффициент жесткости, групповая скорость, ковариации

 

Heat propagation in a one-dimensional harmonic crystal on an elastic foundation

A closed system of differential equations has been derived to describe thermal processes in a one-dimensional harmonic crystal on an elastic foundation. It is shown that the evolution of thermal perturbation in such a crystal is described by a discrete unsteady-state equation, a special case of which is the hyperbolic equation of ballistic heat conduction. This equation remains valid with negative stiffness of bonds between particles of the crystal in its entire stability range. The thermal perturbation front propagates with the maximum group velocity of mechanical waves. The propagation of a short-term thermal perturbation in the crystal on the elastic foundation is determined by the equation of ballistic thermal conductivity of the same type as in the crystal without an elastic foundation. The only parameter of this equation is the maximum group velocity (in absolute value), i.e., the maximum rate of energy propagation in the crystal on the elastic foundation. This quantity is proportional to the absolute value of the half-difference of the upper and lower cutoff frequencies. The rate of heat wave propagation in the crystal on the elastic foundation with positive stiffness is always lower than that in the crystal without an elastic foundation. The obtained equation is found to be valid both for positive stiffness values and for negative ones, for which the chain stability condition is satisfied. As an example, a dynamic problem of heat distribution is solved exactly for a parabolic initial temperature profile to model heating of a one-dimensional crystal on a foundation by a short laser pulse. Due to the dispersion of mechanical waves in the chain on the foundation, their group velocity depends on the wave number and the ratio of bond stiffnesses in the chain and the elastic foundation. The thermal front propagates with the maximum possible group velocity in the system, which depends only on this ratio.

Keywords: one-dimensional crystal, thermal conductivity, elastic foundation, negative stiffness coefficient, group velocity, covariance

 

 

А.М. Кривцов, М.Б. Бабенков, Д.В. Цветков  Распространение тепла в одномерном гармоническом кристалле на упругом основании // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. - № 2. - С. 67-76