DOI 10.24411/1683-805X-2018-16012

 

УДК 539.4

This paper presents a simplified probabilistic model for thermally activated propagation of a nanocrack. In the continuum limit, the probabilistic motion of the nanocrack tip is mathematically described by the Fokker-Planck equation. In the model, the drift velocity is explicitly related to the energy release rate at the crack tip through the transition rate theory. The model is applied to analyze the propagation of an edge crack in a nanoscale element. The element is considered to reach failure when the nanocrack propagates to a critical length. The solution of the Fokker-Planck equation indicates that both the strength and lifetime distributions of the nanoscale element exhibit a power-law tail behavior but with different exponents. Meanwhile, the model also yields a mean stress-life curve of the nanoscale element. When the applied stress is sufficiently large, the mean stress-life curve resembles the Basquin law for fatigue failure. Based on a recently developed finite weakest-link model as well as level excursion analysis of the failure statistics of quasibrittle structures, it is argued that the simulated power-law tail of strength distribution of the nanoscale element has important implications for the tail behavior of the strength distribution of macroscopic structures. It provides a physical justification for the two-parameter Weibull distribution for strength statistics of large-scale quasibrittle structures.

 

Keywords: failure statistics, transition rate theory, Fokker-Planck equation, quasibrittle materials, Weibull distribution

 

Упрощенная вероятностная модель распространения нанотрещины и ее применение для описания хвостов распределения прочности конструкции

В статье предложена упрощенная вероятностная модель термоактивированного распространения нанотрещины. В континуальном пределе вероятностное движение вершины нанотрещины математически описывается уравнением Фоккера-Планка. В рамках модели скорость роста явным образом связана со скоростью высвобождения энергии в вершине трещины с использованием теории вероятности переходов. Рассмотрено распространение краевой трещины в наноразмерном элементе. При достижении критической длины нанотрещины происходит разрушение элемента. Решение уравнения Фоккера-Планка показывает, что распределения прочности и времени жизни наноразмерного элемента имеют степенные хвосты с различными показателями степени. Модель также позволяет получить зависимость среднего времени жизни наноразмерного элемента от уровня напряжений. В случае достаточно больших значений напряжений кривая зависимости среднего времени жизни наноразмерного элемента от напряжения соответствует соотношению Баскина для усталостного разрушения. На основе недавно разработанной модели слабейшего звена, а также анализа отклонений по уровням, используемых в статистике разрушения квазихрупких структур, показано, что степенной хвост распределения прочности наноразмерного элемента имеет большое значение для описания хвоста распределения прочности макроскопических структур. С его помощью можно получить физическое обоснование двухпараметрического распределения Вейбулла для описания статистики прочности большеразмерных квазихрупких структур.

Ключевые слова: статистика разрушения, теория вероятности переходов, уравнение Фоккера-Планка, квазихрупкие материалы, распределение Вейбулла

 

 

J.-L. Le, Z. Xu  A simplified probabilistic model for nanocrack propagation and its implications for tail distribution of structural strength // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 6. - С. 83-92