DOI 10.24411/1683-805X-2018-16011

 

УДК 539.3 

 

The main focus of the paper is on similarity methods in application to solid mechanics and author's personal development of Barenblatt's scaling approaches in solid mechanics and nanomechanics. It is argued that scaling in nanomechanics and solid mechanics should not be restricted to just the equivalence of dimensionless parameters characterizing the problem under consideration. Many of the techniques discussed were introduced by Professor G.I. Barenblatt. Since 1991 the author was incredibly lucky to have many possibilities to discuss various questions related to scaling during personal meetings with G.I. Barenblatt in Moscow, Cambridge, Berkeley and at various international conferences as well as by exchanging letters and electronic mails. Here some results of these discussions are described and various scaling techniques are demonstrated. The Barenblatt-Botvina model of damage accumulation is reformulated as a formal statistical self-similarity of arrays of discrete points and applied to describe discrete contact between uneven layers of multilayer stacks and wear of carbon-based coatings having roughness at nanoscale. Another question under consideration is mathematical fractals and scaling of fractal measures with application to fracture. Finally it is discussed the concept of parametric-homogeneity that based on the use of group of discrete coordinate dilation. The parametric-homogeneous functions include the fractal Weierstrass-Mandelbrot and smooth log-periodic functions. It is argued that the Liesegang rings are an example of a parametric-homogeneous set.

Keywords: statistical self-similarity, parametric homogeneity, scaling, fractals, contact, wear

 

Развитие масштабных подходов Баренблатта в механике деформируемого твердого тела и наномеханике

Основное внимание в статье уделено методам подобия в применении к механике деформируемого твердого тела и персональному развитию автором масштабных подходов Баренблатта в механике деформируемого твердого тела и наномеханике. Утверждается, что масштабирование в наномеханике и механике твердого тела не должно ограничиваться только эквивалентностью безразмерных параметров, характеризующих рассматриваемую проблему. Многие из обсуждаемых методов были введены в науку профессором Г.И. Баренблаттом. С 1991 года автору сопутствовала невероятная удача, позволившая ему иметь много возможностей для обсуждения различных вопросов, связанных с масштабированием, во время личных встреч с Г.И. Баренблаттом в Москве, Кембридже, Беркли и на различных международных конференциях, а также путем обмена письмами и электронной почтой. Здесь описываются некоторые результаты этих обсуждений и демонстрируются различные методы масштабирования. Модель накопления повреждений Баренблатта-Ботвиной переформулирована в виде формальной статистической автомодельности множеств дискретных точек и применена для описания дискретного контакта между неровными слоями многослойных пакетов, а также износа углеродных покрытий, имеющих шероховатости на наноуровне. Другой рассматриваемый вопрос - это математические фракталы и масштабирование фрактальных мер с применением к разрушению. В заключение, обсуждается понятие параметрической однородности, основанное на использовании группы дискретного растяжения координат. Параметрически однородные функции включают фрактальные функции Вейерштрасса-Мандельброта и гладкие логарифмически-периодические функции. Утверждается, что кольца Лизеганга являются примером параметрически однородного множества.

Ключевые слова: статистическая автомодельность, параметрическая однородность, масштабирование, фракталы, контакт, износ

 

F.M. Borodich  Development of Barenblatt’s scaling approaches in solid mechanics and nanomechanics // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 6. - С. 75-82